二次型及标准型

二次方程组的矩阵表示，及化简，变为标准型。

1 二次型

定义1：二次型

条件
$$
f(x_1,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+\cdots+a_{nn}x_n^2\
2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{n(n-1)}x_nx_{n-1}\
= \sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j
$$
含有n个变量的二次其次函数称为二次型。

定义2：标准型

条件
$$
f=k_1y_1^2+\cdots+k_ny_n^2
$$
只含有平方项的二次型称为标准型。

定义3：规范型

条件
$$
f=(+|-)y_1^2+\cdots+(+|-)y_n^2
$$
标准型的系数只能在0，-1，1三个数中取值时，称为规范型

定义4：二次型的矩阵表示

$$
f=x^TAx\
x=\begin{bmatrix}
x_1\
\vdots\
x_n
\end{bmatrix}
A=\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\
\vdots & & \vdots\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
$$
其中A为对称矩阵。对称阵和二次型一一对应。

定义5:合同变换

条件
$$
A,B是n阶矩阵\
C是可逆矩阵\
B=C^TAC
$$
结论
$$
矩阵A与矩阵B合同。
$$

性质：合同变换

$R(A)=R(B)$合同变换秩相等
若A为对称阵，则B也为对称阵。

定理1：相似对角化

给定二次型
$$f= \sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j$$
总有正交变换$x=Py,$使$f$变为标准型

$$
f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2
$$
其中$\lambda$是矩阵A的特征值。

定理2：相似对角化

对于给定的二次型
$$
f(x)=x^TAx
$$
总有可逆变换使$f(Cz)$为规范型