矩阵相似变换

1 特征值和特征向量

应用，方阵的对角化，解微分方程

定义：特征值和特征向量

  • 声明

$$
A是n阶矩阵\
\lambda 数\
x是n维向量
$$

  • 条件
    特征表达式
    $$
    Ax=\lambda x
    $$
  • 结论
    $$
    \lambda 是矩阵A的特征值\
    x是矩阵A的特征向量。
    $$

性质：特征值特征向量

  • 同一个特征值的所有特征向量的非零线性组合，仍是特征向量。
  • 特征值的性质：
    $$
    \lambda_1+\cdots+\lambda_n=a_1+\cdots+a_n\
    \lambda_1\cdots\lambda_n=|A|=det A
    $$

定理：特征值、特征向量、矩阵的线性变换

$$
\lambda 是矩阵A的特征值，p是属于lambda的特征向量
$$

  • $k\lambda 是kA的特征值，p是kA属于k\lambda的特征向量$
  • $\lambda^k是A^k的特征值，p是A^k属于\lambda^k的特征向量$
  • $\frac{1}{\lambda}是A^{-1}的特征值$
  • $\varphi(A)是A的m次多项式，\varphi(\lambda)是\varphi(A)的特征值，p是\varphi(A)属于\varphi(\lambda)的特征向量$

计算：特征值和特征向量

特征表达式的另一种表示方法
$$
(A-\lambda E)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}
$$

因为是有n个未知数的n个线性方程的齐次线性方程组，有零解的充要条件是系数行列式等于零。特征方程成立
$$
|A-\lambda E|=0
$$
含有一个未知数的高阶方程，解得有多个重根。每个重根对应一个特征向量。特征向量不唯一，需要转化为模长为1的向量。

定理：特征向量线性无关

  • 声明
    $$
    \lambda_1,\cdots,\lambda_m是m个特征值\
    p_1,\cdots,p_m是m个特征向量\
    $$
  • 条件
    $$
    \lambda_1,\cdots,\lambda_m各不相等
    $$
  • 结论
    $$
    p_1,\cdots,p_m线性无关
    $$

3 相似矩阵

定义：相似变换

  • 声明
    $$
    A,B是n阶矩阵\
    P是可逆矩阵
    $$
  • 条件
    $$
    P^{-1}AP=B
    $$
  • 结论
    $$
    P^{-1}AP是对A的相似变换。\
    B是A的\textbf{相似矩阵}\
    P是\textbf{变换矩阵}
    $$

定理：相似变换特征不变性

若n阶矩阵A与B相似。则A，B的特征值和特征向量相同。

定理：相似对角化

若n阶矩阵A与对角阵$\Lambda$相似，则A的n个特征值就是对角阵的元素值。特征值对角阵$\Lambda$
$$
\Lambda=\begin{bmatrix}
\lambda_1 &&&\
& \lambda_2&&\
&&\cdots&\
&&&\lambda_n
\end{bmatrix}
$$
并且相似变换P是那个特征向量组成的特征矩阵。
$$
P=(p_1,p_2,\cdots,p_n)
$$

定理：相似对角化的充要条件

  1. n阶矩阵A与特征值对角阵相似的充分必要条件，A有n个线性无关的特征向量，则矩阵A可以相似对角化

  2. 若n阶矩阵A的n个特征值不相等，则有那个线性无关的特征向量，则A（通过特征向量矩阵）与特征值对角阵相似。

  3. 若n接矩阵A存在相等的特征值，即特征方程有k重根，且k重根对应k个线性无关的特征向量，则矩阵A可以相似对角化。

4 对称矩阵的对角化

使用对称矩阵强化了相似对角化存在定理。简化相似对角的充分条件。即相似对角化

定理：实对称矩阵

$$
A^T=A
$$
对称阵的特征值为实数。

定理：正交矩阵

$$
A^T\cdot A=E\
A\cdot A^T=E\
A^T=A^{-1}\
$$
则称A为正交矩阵。

定理：对称阵特征向量正交

普通n阶矩阵的特征向量线性无关

  • 条件

$$
\lambda_1,\lambda_2是对称阵A不相等的两个特征值。\
p_1,p_2是其对应的特征向量。
$$

  • 结论

$$
p_1,p_2正交
$$

定理：对称阵能相似对角化

与上一个定理相同，特征向量正交，则组成的矩阵是正交阵。
$$
A 为对称阵，必有正交阵P，\
使得P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda\
其中\Lambda是A中以n个特征值为对角元素的特征值对角阵。
$$

定理：多重特征值对应多个特征向量

普通矩阵的多重特征值，不一定对应多个线性无关的特征向量。

  • 条件
    $$
    A是n阶对称矩阵\
    \lambda是矩阵A的k重特征值，特征方程的
    k重根\
    $$
  • 结论
    $$
    A-\lambda E的秩为n-k\
    特征值\lambda有k个线性无关的特征向量。
    $$

计算：矩阵对角化的步骤

  1. 求A互不相等的特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_s$他们的重数为$k_1,\cdots,k_s$
  2. 对$k_i$重特征值$\lambda_i$，求方程$A-\lambda E=0$的解，得到$k_i$个线性无关的特征向量。把向量正交化，单位化。得到$k_i$个两两正交的单位特征向量。
  3. 把n个正交的单位特征向量构成正交阵P，则可以通过$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$实现相似对角化。