矩阵及其运算

1 矩阵概念

定义：矩阵

$$
A=\begin{bmatrix}
{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \
{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \
{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \
{a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}}
\end{bmatrix}
$$

  • m行n列矩阵，$m \times n$矩阵，记作$A_{m\times n}$
  • 矩阵中的第i行第j列称为A的元素，记作$a_{ij}$

矩阵分类

  • 实矩阵、复矩阵：元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
  • 方阵：m=n的矩阵称为n阶方阵。
  • 行列向量：只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。记作
    $$
    A=(a_1,\cdots,a_n)\
    B= \left(
    \begin{array}{c}
    b_1 \
    \vdots\
    b_n\
    \end{array}
    \right)
    $$
  • 同型矩阵：行数、列数都相等。
  • 矩阵相等：同型矩阵，对应元素相等。
  • 零矩阵：元素都是零的矩阵称为零矩阵。
  • 对角矩阵：不在主对角线上的元素都是0。
  • 单位矩阵：主对角线上的元素都是1，不再主对角线上的元素都为零。

    矩阵与行列式说明：矩阵是一个数据，行列式是方阵的一个运算。

线性变换与矩阵运算

  • 线性变换
    $$
    y_1={a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}}\
    y_2={a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}}\
    {\vdots} \
    y_n={a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}}
    $$
  • 矩阵表示
    $$
    A=\begin{bmatrix}
    {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \
    {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \
    {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \
    {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}}
    \end{bmatrix}
    $$
    $$
    X=(x_1,\cdots,x_n)^T\
    Y=(y_1,\cdots,y_n)^T\
    $$
  • 线性变换的矩阵表示
    $$
    Y=AX
    $$

2 矩阵运算

矩阵的加法与数乘是线性运算。阶数不会发生变化。
矩阵是线性变换的一种表示形式。每一种矩阵运算都对应线性变换的一种变化。

矩阵加法

同型矩阵A与B相加，对应位置的每个元素相加，记作$A+B$

$$
A+B=\begin{bmatrix}
{a_{11}+b_{11}} & {a_{12}+b_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}+b_{1n}} \
{a_{21}+b_{21}} & {a_{22}+b_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}+b_{2 n}} \
{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \
{a_{m 1}+b_{m 1}} & {a_{m 2}+b_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m n}+b_{m n}}
\end{bmatrix}
$$

  • $A+B=B+A$
  • (A+B)+C=A+(B+C)
  • 负矩阵$-A=(-a_{ij}$

矩阵数乘

实数$\lambda$与矩阵A的成绩记作$\lambda A 或 A\lambda$

$$
\lambda A=\begin{bmatrix}
\lambda {a_{11}} & \lambda {a_{12}} & {\cdots} & \lambda {a_{1n}} \
\lambda {a_{21}} & \lambda {a_{22}} & {\cdots} & \lambda {a_{2n}} \
{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \
\lambda {a_{m1}} & \lambda {a_{m2}} & {\cdots} & \lambda {a_{mn}}
\end{bmatrix}
$$

  • $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$
  • $(\lambda+\mu)A=\lambda A + \mu A$
  • $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

矩阵乘法

矩阵$A_{m\times s},B_{s\times n}$。矩阵A，B的乘积是一个$m\times n$的矩阵$C_{m\times n}$
$$
C = AB
$$

关于维度的理解：一维是列向量，因为一维是向下在行的数量上拓展，列上不拓展。二维是在列的方向上拓展，列数增加。

  • 不满足交换律$AB\neq BA$
  • $(AB)C=A(BC)$
  • $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
  • $A(B+C)=AB+AC$
  • $AI=IA=A$
  • 矩阵的幂：$A^{k+l}=A^{k}A^l$

矩阵转置

将矩阵的行列互换，得到转置矩阵。
$$
A^T
$$

  • $(A^T)^T=A$
  • $(A+B)^T=A^T+B^T$
  • $(\lambda A)^T=\lambda(A)^T$
  • $(AB)^T=B^TA^T$

矩阵行列式

n阶方阵A所有的元素构成的行列式。称为方阵A的行列式。记作$|A|或\det A$

  • $|A^T||A|$
  • $|\lambda A|=\lambda^nA$
  • $|AB|=|A||B|$
  • $det A = 0$奇异矩阵。$det A \not = 0$非奇异矩阵

行列式A的各个元素的代数余子式构成矩阵称为伴随矩阵。
$$
A^* = \begin{bmatrix}
{A_{11}} & {A_{12}} & {\cdots} & {A_{1 n}} \
{A_{21}} & {A_{22}} & {\cdots} & {A_{2 n}} \
{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \
{A_{m 1}} & {A_{m 2}} & {\cdots} & {A_{m n}}
\end{bmatrix}
$$

$$
A^A=AA^=|A|E
$$

矩阵共轭

当 $A=(a_{ij})$是复矩阵时，用$\overline{a_{ij}}$表示$a$的共轭复数

$$
\overline{A}=(\overline{a}_{ij})
$$

  • $\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}$
  • $\overline{\lambda A}=\overline{\lambda}\cdot\overline{A}$
  • $\overline{AB}=\overline{A}\cdots\overline{B}$

转角公式

$$
A=\begin{bmatrix}
\cos \varphi & -\sin \varphi \
\sin \varphi & \cos \varphi
\end{bmatrix}\
\overrightarrow{OP}=(x,y)^T\

A\cdot\overrightarrow{OP}表示转过\varphi角度
$$

其中转角公式具有如下性质

$$
A^n = \begin{bmatrix}
\cos n\varphi & -\sin n\varphi \
\sin n\varphi & \cos n\varphi
\end{bmatrix}\
$$

2 矩阵的逆

线性变换的逆变换与矩阵关系

定义：矩阵的逆

n阶矩阵A，B如果：
$$
AB=BA=E
$$
A是可逆的，B是A的逆矩阵。

定理：行列式不为0

若矩阵A可逆，则$|A|\not = 0$。若$|A|\not = 0$则矩阵A可逆。

$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^\
A^ 为伴随矩阵。
$$

性质：矩阵的逆

  • $(A^{-1})^{-1}=A$
  • $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$
  • $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
  • $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

矩阵的相似变换

$$
A^n = P B^n P^{-1}
$$
用来解决一下问题

$$
\varphi(A)=a_0E + a_1 A^1+\dots+a_nA^n\
=P a_0E P^-1 + \dots + P a_n B^n P^{-1}\
=P(\varphi(B))P^{-1}
$$

如果 B是对角阵，则
$$
B=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\
B^k=diag(\lambda_1^k,\cdots,\lambda_n^k)
$$

3 矩阵分块

$$
A = \begin{bmatrix}
{A_{11}} & {A_{12}} & {\cdots} & {A_{1 n}} \
{A_{21}} & {A_{22}} & {\cdots} & {A_{2 n}} \
{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \
{A_{m 1}} & {A_{m 2}} & {\cdots} & {A_{m n}}
\end{bmatrix}\

B = \begin{bmatrix}
{B_{11}} & {B_{12}} & {\cdots} & {B_{1 n}} \
{B_{21}} & {B_{22}} & {\cdots} & {B_{2 n}} \
{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \
{B_{m 1}} & {B_{m 2}} & {\cdots} & {B_{m n}}
\end{bmatrix}
$$
其中$A_{ij},B_{ij}$行列数相同，划分相同

性质：加法

$$
A+B= (A_{ij}+B_{ij})
$$

性质：数乘

$$
\lambda A = (\lambda A_{ij})
$$

性质：乘积

$$
AB=(C_{ij})\
C_{ij}=\sum_{k=1}^sA_{ik}B_{kj}
$$

性质：转置

$$
A^T=((A_{ji})^T)
$$

4 常见题型

求矩阵的逆

  • 定义法，通过伴随矩阵与矩阵的乘积
  • 初等变换法，通过初等变换，对角单位阵，得到矩阵的逆。